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Die `!Delta-Distribution`! (auch `!δ-Funktion`!; `!Dirac-Funktion`!, `!-Impuls`!, `!-Puls`!, `!-Stoß`! (nach `F33f`_`[Paul Dirac`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paul_Dirac]`_`f), `!Stoßfunktion`!, `!Nadelimpuls`!, `!Impulsfunktion`! oder `!Einheitsimpulsfunktion`! genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle `F33f`_`[singuläre Distribution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Singuläre_Distribution]`_`f mit `F33f`_`[kompaktem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kompakter_Raum]`_`f `F33f`_`[Träger`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Träger_(Mathematik)]`_`f. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).
>>Contents
• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f
• `F0af`_`[Definition über Dirac-Maß`#definition-ber-dirac-ma]`_`f
• `F0af`_`[Approximation der Delta-Distribution`#approximation-der-delta-distribution]`_`f
• `F0af`_`[Dirac-Folge`#dirac-folge]`_`f
• `F0af`_`[Bemerkungen`#bemerkungen]`_`f
• `F0af`_`[Beispiele für Dirac-Folgen`#beispiele-f-r-dirac-folgen]`_`f
• `F0af`_`[Weitere Beispiele`#weitere-beispiele]`_`f
• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f
• `F0af`_`[Singularität`#singularit-t]`_`f
• `F0af`_`[Ableitungen`#ableitungen]`_`f
• `F0af`_`[Fourier-Laplace-Transformation`#fourier-laplace-transformation]`_`f
• `F0af`_`[Praktische Anwendung`#praktische-anwendung]`_`f
• `F0af`_`[Mehrdimensionale Delta-Distribution`#mehrdimensionale-delta-distribution]`_`f
• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f
• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f
• `F0af`_`[Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen`#delta-distribution-in-krummlinigen-koordinatensystemen]`_`f
• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f
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>>Definition
Die Delta-Distribution ist eine `F33f`_`[stetige`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetige_Abbildung]`_`f `F33f`_`[lineare`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f Abbildung von einem `F33f`_`[Funktionenraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionenraum]`_`f der `F33f`_`[Testfunktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Testfunktion]`_`f E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} in den zugrunde liegenden `F33f`_`[Körper`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Körper_(Algebra)]`_`f K {\\displaystyle \\mathbb {K} } :
δ δ : : E → → K , f ↦ ↦ f ( 0 ) {\\displaystyle \\delta \\colon \\,{\\mathcal {E}}\\to \\mathbb {K} \\,,\\,f\\mapsto f(0)} .
Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der `F33f`_`[beliebig oft differenzierbaren Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Glatte_Funktion]`_`f C ∞ ∞ ( Ω Ω ) {\\displaystyle C^{\\infty }(\\Omega )} mit Ω Ω ⊂ ⊂ R n {\\displaystyle \\Omega \\subset \\mathbb {R} ^{n}} bzw. Ω Ω ⊂ ⊂ C n {\\displaystyle \\Omega \\subset \\mathbb {C} ^{n}} offen und 0 ∈ ∈ Ω Ω {\\displaystyle 0\\in \\Omega } . Somit entspricht K {\\displaystyle \\mathbb {K} } entweder den reellen R {\\displaystyle \\mathbb {R} } oder den komplexen Zahlen C {\\displaystyle \\mathbb {C} } .
Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion f {\\displaystyle f} eine reelle bzw. komplexe Zahl δ δ ( f ) = f ( 0 ) {\\displaystyle \\delta (f)=f(0)} zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion f ∈ ∈ E {\\displaystyle f\\in {\\mathcal {E}}} liefert, schreibt man (mit der Notation der `F33f`_`[dualen Paarung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Duale_Paarung]`_`f) auch als
δ δ ( f ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = f ( 0 ) {\\displaystyle \\delta (f)=\\langle \\delta ,f\\rangle =f(0)}
beziehungsweise auch als
δ δ ( f ) = ∫ ∫ Ω Ω δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) . {\\displaystyle \\delta (f)=\\int _{\\Omega }\\delta (x)\\,f(x)\\,\\mathrm {d} x=f(0)\\,.}
Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine `F33f`_`[lokal integrierbare Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lokal_integrierbare_Funktion]`_`f in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion δ δ {\\displaystyle \\delta } , welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich `*nicht`* um ein `F33f`_`[Riemann-Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemann-Integral]`_`f oder `F33f`_`[Lebesgue-Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lebesgue-Integral]`_`f bzgl. des `F33f`_`[Lebesgue-Maßes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lebesgue-Maß]`_`f, sondern um die Auswertung des Funktionals δ δ {\\displaystyle \\delta } an der Stelle f {\\displaystyle f} , also δ δ ( f ) = f ( 0 ) {\\displaystyle \\delta (f)=f(0)} , handelt.
>>Definition über Dirac-Maß
Das durch ein positives `F33f`_`[Radon-Maß`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Radon-Maß]`_`f μ μ {\\displaystyle \\mu } erzeugte Funktional ⟨ ⟨ μ μ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d μ μ {\\displaystyle \\textstyle \\langle \\mu ,f\\rangle =\\int f(x)\\,\\mathrm {d} \\mu } (für f ∈ ∈ D {\\displaystyle f\\in {\\mathcal {D}}} ) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom `F33f`_`[Diracmaß`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Diracmaß]`_`f – erzeugt:
δ δ ( A ) = { 1 , falls 0 ∈ ∈ A , 0 , sonst, {\\displaystyle \\delta (A)={\\begin{cases}1,\\ &{\\text{ falls }}0\\in A,\\\\0,\\ &{\\text{ sonst,}}\\end{cases}}}
wobei A ⊆ ⊆ R {\\displaystyle A\\subseteq \\mathbb {R} } . Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als `F33f`_`[Massenverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Massenverteilung]`_`f oder `F33f`_`[Ladungsverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ladungsverteilung]`_`f des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.
⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d δ δ = f ( 0 ) . {\\displaystyle \\langle \\delta ,f\\rangle =\\int f(x)\\,\\mathrm {d} \\delta =f(0).}
Befinden sich an den Stellen x i ∈ ∈ R {\\displaystyle x_{i}\\in \\mathbb {R} } Punktladungen q i {\\displaystyle q_{i}} , wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für A ⊂ ⊂ R {\\displaystyle A\\subset \\mathbb {R} } ein Maß auf der σ σ {\\displaystyle \\sigma } -Algebra aller Teilmengen von R {\\displaystyle \\mathbb {R} } definiert, das der Ladungsverteilung entspricht ( i A {\\displaystyle i_{A}} durchlaufe alle i {\\displaystyle i} mit x i ∈ ∈ A {\\displaystyle x_{i}\\in A} ):
ρ ρ ( A ) := ∑ ∑ i A q i . {\\displaystyle \\rho (A):=\\sum _{i_{A}}q_{i}.}
Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:
⟨ ⟨ ρ ρ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d ρ ρ = ∑ ∑ i A f ( x i ) q i . {\\displaystyle \\langle \\rho ,f\\rangle =\\int f(x)\\,\\mathrm {d} \\rho =\\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.}
>>Approximation der Delta-Distribution
Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer `F33f`_`[Funktionenfolge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionenfolge]`_`f darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.
>>>Dirac-Folge
Eine Folge ( δ δ k ) k ∈ ∈ N {\\displaystyle (\\delta _{k})_{k\\in \\mathbb {N} }} integrierbarer Funktionen δ δ k ∈ ∈ L 1 ( R n ) {\\displaystyle \\delta _{k}\\in L^{1}(\\mathbb {R} ^{n})} wird Dirac-Folge genannt, falls
1. für alle x ∈ ∈ R n {\\displaystyle x\\in \\mathbb {R} ^{n}} und alle k ∈ ∈ N {\\displaystyle k\\in \\mathbb {N} } die Bedingung δ δ k ( x ) ≥ ≥ 0 , {\\displaystyle \\delta _{k}(x)\\geq 0\\,,}
2. für alle k ∈ ∈ N {\\displaystyle k\\in \\mathbb {N} } die Identität ∫ ∫ R n δ δ k ( x ) d x = 1 {\\displaystyle \\int _{\\mathbb {R} ^{n}}\\delta _{k}(x)\\,\\mathrm {d} x=1} und
3. für alle ϵ ϵ > 0 {\\displaystyle \\epsilon >0} die Gleichheit lim k → → ∞ ∞ ∫ ∫ R n ∖ ∖ B ϵ ϵ ( 0 ) δ δ k ( x ) d x = 0 {\\displaystyle \\lim _{k\\to \\infty }\\int _{\\mathbb {R} ^{n}\\setminus B_{\\epsilon }(0)}\\delta _{k}(x)\\mathrm {d} x=0}
gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion ϕ ϕ ∈ ∈ L 1 ( R n ) {\\displaystyle \\phi \\in L^{1}(\\mathbb {R} ^{n})} mit ϕ ϕ ( x ) ≥ ≥ 0 {\\displaystyle \\phi (x)\\geq 0} für alle x ∈ ∈ R n {\\displaystyle x\\in \\mathbb {R} ^{n}} und ∫ ∫ R n ϕ ϕ ( x ) d x = 1 {\\displaystyle \\textstyle \\int _{\\mathbb {R} ^{n}}\\phi (x)\\mathrm {d} x=1} und setzt δ δ ϵ ϵ ( x ) := ϵ ϵ − − n ϕ ϕ ( x ϵ ϵ ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x):=\\epsilon ^{-n}\\phi ({\\tfrac {x}{\\epsilon }})} für ϵ ϵ > 0 {\\displaystyle \\epsilon >0} , dann erfüllt diese `F33f`_`[Funktionenschar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionenschar]`_`f die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert ϵ ϵ → → 0 {\\displaystyle \\epsilon \\to 0} anstatt k → → ∞ ∞ {\\displaystyle k\\to \\infty } , so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar δ δ ϵ ϵ {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }} ebenfalls Dirac-Folge.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]
>>>Bemerkungen
Die Funktion δ δ k {\\displaystyle \\delta _{k}} kann man nun mit einer `F33f`_`[regulären Distribution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reguläre_Distribution]`_`f
δ δ k ( f ) := ⟨ ⟨ δ δ k , f ⟩ ⟩ := ∫ ∫ R n δ δ k ( x ) f ( x ) d x {\\displaystyle \\delta _{k}(f):=\\langle \\delta _{k},f\\rangle :=\\int _{\\mathbb {R} ^{n}}\\delta _{k}(x)\\,f(x)\\,\\mathrm {d} x}
identifizieren. Nur im Limes k → → ∞ ∞ {\\displaystyle k\\to \\infty } erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution
lim k → → ∞ ∞ δ δ k ( f ) = lim k → → ∞ ∞ ⟨ ⟨ δ δ k , f ⟩ ⟩ = f ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\lim _{k\\to \\infty }\\delta _{k}(f)=\\lim _{k\\to \\infty }\\langle \\delta _{k},f\\rangle =f(0)=\\langle \\delta ,f\\rangle }
wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht `*unter`* dem Integral, sondern `*davor`* erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre δ δ ϵ ϵ {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }} `F33f`_`[fast überall`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fast_überall]`_`f Null, nur nicht bei x = 0 {\\displaystyle x=0} . Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.
Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.
>>>Beispiele für Dirac-Folgen
Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) δ δ ϵ ϵ ( x ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)} angegeben, zunächst stetig differenzierbare:
• `F33f`_`[Glockenfunktionen (Normalverteilungen)`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalverteilung]`_`f
δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 2 π π ϵ ϵ exp ( − − x 2 2 ϵ ϵ ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {1}{\\sqrt {2\\pi \\epsilon }}}\\,\\exp \\left(-{\\frac {x^{2}}{2\\epsilon }}\\right)}
Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei x = 0 {\\displaystyle x=0} , die Breite ist etwa ϵ ϵ → → 0 {\\displaystyle {\\sqrt {\\epsilon }}\\to 0} und die Höhe etwa 1 / ϵ ϵ → → ∞ ∞ {\\displaystyle 1/{\\sqrt {\\epsilon }}\\to \\infty } . Für alle ϵ ϵ {\\displaystyle \\epsilon } ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.
• `F33f`_`[Lorentzkurven`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lorentzkurve]`_`f
δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 π π ϵ ϵ x 2 + ϵ ϵ 2 {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {1}{\\pi }}{\\frac {\\epsilon }{x^{2}+\\epsilon ^{2}}}}
• `F33f`_`[Fresnel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Augustin_Jean_Fresnel]`_`f-Darstellung
δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 i π π ϵ ϵ exp ( i x 2 ϵ ϵ ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {1}{\\sqrt {\\mathrm {i} \\pi \\epsilon }}}\\,\\exp \\left({\\frac {\\mathrm {i} x^{2}}{\\epsilon }}\\right)}
die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das x 2 {\\displaystyle x^{2}} immer enger werden; die Grundfläche (in x {\\displaystyle x} - y {\\displaystyle y} -Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in z {\\displaystyle z} -Richtung.
Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:
• `F33f`_`[Rechteckfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rechteckfunktion]`_`f
δ δ ϵ ϵ ( x ) = rect ( x / ϵ ϵ ) ϵ ϵ = { 1 ϵ ϵ | x | ≤ ≤ ϵ ϵ 2 0 sonst {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {\\operatorname {rect} (x/\\epsilon )}{\\epsilon }}={\\begin{cases}{\\frac {1}{\\epsilon }}&\\ |x|\\leq {\\frac {\\epsilon }{2}}\\\\0&\\ {\\text{sonst}}\\end{cases}}}
• `F33f`_`[Dreiecksfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dreiecksfunktion]`_`f
δ δ ϵ ϵ ( x ) = { ϵ ϵ + x ϵ ϵ 2 − − ϵ ϵ ≤ ≤ x ≤ ≤ 0 ϵ ϵ − − x ϵ ϵ 2 0 < x ≤ ≤ ϵ ϵ 0 sonst {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\begin{cases}{\\dfrac {\\epsilon +x}{\\epsilon ^{2}}}&\\ -\\epsilon \\leq x\\leq 0\\\\{\\dfrac {\\epsilon -x}{\\epsilon ^{2}}}&\\ 0<x\\leq \\epsilon \\\\0&\\ {\\text{sonst}}\\end{cases}}}
• `F33f`_`[Exponentialfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Exponentialfunktion]`_`f um Ursprung abfallend
δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 2 ϵ ϵ exp ( − − | x | ϵ ϵ ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {1}{2\\epsilon }}\\exp \\left(-{\\frac {|x|}{\\epsilon }}\\right)}
>>>Weitere Beispiele
• Die Funktionenfolge der `F33f`_`[Sinc-Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sinc-Funktion]`_`f
δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 π π x sin ( x ϵ ϵ ) {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }(x)={\\frac {1}{\\pi x}}\\sin \\left({\\frac {x}{\\epsilon }}\\right)}
ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck lim ϵ ϵ → → 0 ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ 1 π π x sin ( x ϵ ϵ ) ϕ ϕ ( x ) d x {\\displaystyle \\lim _{\\epsilon \\to 0}\\int _{-\\infty }^{\\infty }{\\frac {1}{\\pi x}}\\sin \\left({\\frac {x}{\\epsilon }}\\right)\\phi (x)\\mathrm {d} x}
so konvergiert für alle ϕ ϕ ∈ ∈ D {\\displaystyle \\phi \\in {\\mathcal {D}}} diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.
>>Eigenschaften
`!Definierende Eigenschaft`!
der Delta-Distribution: `F33f`_`[Faltungseigenschaft`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faltung_(Mathematik)]`_`f, auch `*Ausblendeigenschaft`*`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f], `*Siebeigenschaft`* genannt ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) {\\displaystyle \\langle \\delta ,f\\rangle =\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta (x)\\,f(x)\\,\\mathrm {d} x=f(0)}
bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt: ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ f ( x ) δ δ ( x − − a ) d x = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ f ( x ) δ δ ( a − − x ) d x = f ( a ) , {\\displaystyle \\int _{-\\infty }^{\\infty }f(x)\\,\\delta (x-a)\\,\\mathrm {d} x=\\int _{-\\infty }^{\\infty }f(x)\\,\\delta (a-x)\\,\\mathrm {d} x=f(a),}
speziell für den Fall der konstanten Funktion 1: ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x − − a ) d x = 1 {\\displaystyle \\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta (x-a)\\,\\mathrm {d} x=1}
`!Linearität`!
⟨ ⟨ δ δ , f + g ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ δ δ , g ⟩ ⟩ = f ( 0 ) + g ( 0 ) {\\displaystyle \\langle \\delta ,f+g\\rangle =\\langle \\delta ,f\\rangle +\\langle \\delta ,g\\rangle =f(0)+g(0)}
`!Translation`!
⟨ ⟨ δ δ ( ⋅ ⋅ − − a ) , f ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ δ δ , f ( ⋅ ⋅ + a ) ⟩ ⟩ = f ( a ) {\\displaystyle \\langle \\delta (\\cdot -a),f\\rangle =\\langle \\delta ,f(\\cdot +a)\\rangle =f(a)}
für δ δ ( ⋅ ⋅ − − a ) {\\displaystyle \\delta (\\cdot -a)} ist auch die Bezeichnung δ δ a {\\displaystyle \\delta _{a}} gebräuchlich.
`!Skalierung`!
⟨ ⟨ δ δ ( a ⋅ ⋅ ) , f ⟩ ⟩ = 1 | a | ⟨ ⟨ δ δ , f ( ⋅ ⋅ a ) ⟩ ⟩ = 1 | a | f ( 0 ) {\\displaystyle \\langle \\delta (a\\cdot ),f\\rangle ={\\frac {1}{|a|}}\\langle \\delta ,f({\\tfrac {\\cdot }{a}})\\rangle ={\\frac {1}{|a|}}f(0)}
und δ δ ( α α x ) = 1 | α α | δ δ ( x ) {\\displaystyle \\delta (\\alpha x)={\\frac {1}{|\\alpha |}}\\delta (x)}
das heißt die Delta-Distribution ist positiv `F33f`_`[homogen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Homogene_Funktion]`_`f vom Grad −1.
`!Dimension`!
Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die `F33f`_`[Dimension`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dimension_(Physik)]`_`f bzw. `F33f`_`[Maßeinheit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Maßeinheit]`_`f der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der `F33f`_`[reziproken`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kehrwert]`_`f Dimension ihres Arguments. Hat x {\\displaystyle x} beispielsweise die Dimension einer `F33f`_`[Länge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Länge_(Physik)]`_`f, so hat δ δ ( x ) {\\displaystyle \\delta (x)} die Dimension (1/Länge).
`!Hintereinanderausführung`!
∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ϕ ϕ ( x ) δ δ ( g ( x ) ) d x = ∑ ∑ i = 1 n ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ϕ ϕ ( x ) δ δ ( x − − x i ) | g ′ ( x i ) | d x = ∑ ∑ i = 1 n ϕ ϕ ( x i ) | g ′ ( x i ) | , {\\displaystyle \\int _{-\\infty }^{\\infty }\\phi (x)\\,\\delta (g(x))\\,\\mathrm {d} x=\\sum _{i=1}^{n}\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\phi (x){\\frac {\\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}\\,\\mathrm {d} x=\\sum _{i=1}^{n}{\\frac {\\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},} δ δ ( g ( x ) ) = ∑ ∑ i = 1 n δ δ ( x − − x i ) | g ′ ′ ( x i ) | {\\displaystyle \\delta (g(x))=\\sum _{i=1}^{n}{\\frac {\\delta (x-x_{i})}{|g^{\\prime }(x_{i})|}}}
wobei x i {\\displaystyle x_{i}} die einfachen Nullstellen von g ( x ) {\\displaystyle g(x)} sind (sofern g ( x ) {\\displaystyle g(x)} nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel δ δ ( x 2 − − α α 2 ) = 1 2 | α α | [ δ δ ( x − − α α ) + δ δ ( x + α α ) ] . {\\displaystyle \\delta (x^{2}-\\alpha ^{2})={\\frac {1}{2|\\alpha |}}[\\delta (x-\\alpha )+\\delta (x+\\alpha )].}
>>>Singularität
Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:
Angenommen δ δ {\\displaystyle \\delta } wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion δ δ ( x ) ∈ ∈ L lok 1 {\\displaystyle \\delta (x)\\in L_{\\text{lok}}^{1}} , also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall [ a , b ] {\\displaystyle [a,b]} bzgl. des `F33f`_`[Lebesgue-Maßes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lebesgue-Maß]`_`f integrierbar ist
∫ ∫ a b | δ δ ( x ) | d x < ∞ ∞ {\\displaystyle \\int _{a}^{b}|\\delta (x)|\\mathrm {d} x<\\infty }
so dass für alle Testfunktionen f ( x ) {\\displaystyle f(x)} gilt:
⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) . {\\displaystyle \\langle \\delta ,f\\rangle =\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta (x)\\,f(x)\\,\\mathrm {d} x=f(0).}
Wähle zunächst b ∈ ∈ R {\\displaystyle b\\in \\mathbb {R} } derart, dass ∫ ∫ − − b b | δ δ ( x ) | d x < 1 {\\displaystyle \\textstyle \\int _{-b}^{b}|\\delta (x)|\\mathrm {d} x<1} gilt. Betrachte dann die folgende Testfunktion ϕ ϕ b ( x ) {\\displaystyle \\phi _{b}(x)} mit kompaktem Träger [ − − b , b ] {\\displaystyle [-b,b]} :
ϕ ϕ b ( x ) = { exp ( b 2 x 2 − − b 2 ) | x | < b 0 | x | ≥ ≥ b . {\\displaystyle \\phi _{b}(x)={\\begin{cases}\\exp {\\Big (}{\\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\\Big )}&|x|<b\\\\0&|x|\\geq b.\\end{cases}}}
Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:
⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ = ϕ ϕ b ( 0 ) = exp ( − − 1 ) = 1 e . {\\displaystyle \\langle \\delta ,\\phi _{b}\\rangle =\\phi _{b}(0)=\\exp(-1)={\\frac {1}{e}}.}
Mit der angenommenen regulären Distribution
⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x = ∫ ∫ − − b b δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x {\\displaystyle \\langle \\delta ,\\phi _{b}\\rangle =\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta (x)\\,\\phi _{b}(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int _{-b}^{b}\\delta (x)\\,\\phi _{b}(x)\\,\\mathrm {d} x}
lässt sich folgende Abschätzung durchführen:
1 e = | ⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ | = | ∫ ∫ − − b b δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x | ≤ ≤ ‖ ‖ ϕ ϕ b ( x ) ‖ ‖ ∞ ∞ ⏟ ⏟ ϕ ϕ b ( 0 ) ∫ ∫ − − b b | δ δ ( x ) | d x < 1 e . {\\displaystyle {\\frac {1}{e}}=|\\langle \\delta ,\\phi _{b}\\rangle |=\\left|\\int _{-b}^{b}\\delta (x)\\,\\phi _{b}(x)\\,\\mathrm {d} x\\right|\\leq \\underbrace {\\|\\phi _{b}(x)\\|_{\\infty }} _{\\phi _{b}(0)}\\,\\int _{-b}^{b}|\\delta (x)|\\,\\mathrm {d} x<{\\frac {1}{e}}.}
Man erhält also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.
>>>Ableitungen
>>>>Ableitung der Delta-Distribution
Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv `F33f`_`[differenziert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f werden:
⟨ ⟨ δ δ ′ , f ⟩ ⟩ = − − ⟨ ⟨ δ δ , f ′ ⟩ ⟩ = − − f ′ ( 0 ) . {\\displaystyle \\langle \\delta ',f\\rangle =-\\langle \\delta ,f'\\rangle =-f'(0).}
Dies gilt auch für die n {\\displaystyle n} -te distributive Ableitung:
⟨ ⟨ δ δ ( n ) , f ⟩ ⟩ = ( − − 1 ) n ⟨ ⟨ δ δ , f ( n ) ⟩ ⟩ = ( − − 1 ) n f ( n ) ( 0 ) . {\\displaystyle \\langle \\delta ^{(n)},f\\rangle =(-1)^{n}\\langle \\delta ,f^{(n)}\\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).}
>>>>Ableitung der Dirac-Folge
Die Ableitungen der regulären Distributionen δ δ ϵ ϵ {\\displaystyle \\delta _{\\epsilon }} können mittels `F33f`_`[partieller Integration`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Integration]`_`f berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)
⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ ′ ′ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ′ ′ ( x ) f ( x ) d x = [ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ( x ) ] − − ∞ ∞ ∞ ∞ ⏟ ⏟ = 0 − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ′ ′ ( x ) d x = − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ′ ′ ( x ) d x = − − ⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ , f ′ ′ ⟩ ⟩ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\langle \\delta _{\\epsilon }^{\\prime },f\\rangle &=\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta _{\\epsilon }^{\\prime }(x)\\,f(x)\\,\\mathrm {d} x\\\\&=\\underbrace {\\left[\\delta _{\\epsilon }(x)\\,f(x)\\right]_{-\\infty }^{\\infty }} _{=0}-\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta _{\\epsilon }(x)\\,f^{\\prime }(x)\\,\\mathrm {d} x\\\\&=-\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\delta _{\\epsilon }(x)\\,f^{\\prime }(x)\\,\\mathrm {d} x\\\\&=-\\langle \\delta _{\\epsilon },f^{\\prime }\\rangle \\end{aligned}}}
und ergeben im Limes ϵ ϵ → → 0 {\\displaystyle \\epsilon \\to 0} das Verhalten der distributiven Ableitung:
lim ϵ ϵ → → 0 ⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ ′ ′ , f ⟩ ⟩ = − − f ′ ′ ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ ′ ′ , f ⟩ ⟩ . {\\displaystyle \\lim _{\\epsilon \\to 0}\\langle \\delta _{\\epsilon }^{\\prime },f\\rangle =-f^{\\prime }(0)=\\langle \\delta ^{\\prime },f\\rangle .}
>>>>Ableitung der Heaviside-Distribution
Die `F33f`_`[Heaviside-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Heaviside-Funktion]`_`f Θ Θ ( x ) {\\displaystyle \\Theta (x)} ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:
⟨ ⟨ Θ Θ ′ , f ⟩ ⟩ = − − ⟨ ⟨ Θ Θ , f ′ ⟩ ⟩ = − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ Θ Θ ( x ) f ′ ( x ) d x = − − ∫ ∫ 0 ∞ ∞ f ′ ( x ) d x = − − f ( ∞ ∞ ) ⏟ ⏟ = 0 + f ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ . {\\displaystyle \\langle \\Theta ',f\\rangle =-\\langle \\Theta ,f'\\rangle =-\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\Theta (x)\\,f'(x)\\,\\mathrm {d} x=-\\int _{0}^{\\infty }f'(x)\\,\\mathrm {d} x=-\\underbrace {f(\\infty )} _{=0}+f(0)=\\langle \\delta ,f\\rangle .}
Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein f ∈ ∈ C 0 ∞ ∞ ≅ ≅ D {\\displaystyle f\\in C_{0}^{\\infty }\\cong {\\mathcal {D}}} , das heißt f {\\displaystyle f} muss im Unendlichen verschwinden.
>>>Fourier-Laplace-Transformation
Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die `F33f`_`[Fourier-Laplace-Transformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fourier-Laplace-Transformation]`_`f dieser zu bilden. Für diese gilt
δ δ ^ ^ = 1 . {\\displaystyle {\\hat {\\delta }}=1\\,.}
>>>>Fourier-Transformation
Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der `F33f`_`[Fourier-Transformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fourier-Transformation]`_`f und somit gilt auch
F ( δ δ ) ( ϕ ϕ ) = δ δ ( F ( ϕ ϕ ) ) = δ δ ( ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − i x ξ ξ ϕ ϕ ( x ) d x ) = ⟨ ⟨ 1 , ϕ ϕ ⟩ ⟩ . {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(\\delta )(\\phi )=\\delta ({\\mathcal {F}}(\\phi ))=\\delta \\left(\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\mathrm {e} ^{-\\mathrm {i} x\\xi }\\phi (x)\\mathrm {d} x\\right)=\\langle 1,\\phi \\rangle \\,.}
Es gibt auch die Konvention, den Faktor 1 2 π π {\\displaystyle {\\tfrac {1}{\\sqrt {2\\pi }}}} mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist 1 2 π π {\\displaystyle {\\tfrac {1}{\\sqrt {2\\pi }}}} ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle `F33f`_`[Frequenzen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frequenz]`_`f enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung δ δ ( x ) = F − − 1 ( 1 ) {\\displaystyle \\delta (x)={\\mathcal {F}}^{-1}(1)} (beziehungsweise δ δ ( x ) = F − − 1 ( 1 2 π π ) {\\displaystyle \\delta (x)={\\mathcal {F}}^{-1}({\\tfrac {1}{\\sqrt {2\\pi }}})} bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.
>>>>Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier
L ( δ δ ) = 1 . {\\displaystyle {\\mathcal {L}}(\\delta )=1\\,.}
Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.
>>>>Anmerkung bezüglich der Darstellung
Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen
F ( δ δ ) ( ξ ξ ) = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − i ξ ξ x δ δ ( x ) d x {\\displaystyle {\\mathcal {F}}(\\delta )(\\xi )=\\int _{-\\infty }^{\\infty }\\mathrm {e} ^{-\\mathrm {i} \\xi x}\\,\\delta (x)\\,\\mathrm {d} x}
für die Fourier-Transformation beziehungsweise
L ( δ δ ) ( ξ ξ ) = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ e − − ξ ξ x δ δ ( x ) d x {\\displaystyle {\\mathcal {L}}(\\delta )(\\xi )=\\int _{0}^{\\infty }\\mathrm {e} ^{-\\xi x}\\,\\delta (x)\\,\\mathrm {d} x}
für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.
>>>>Transformation der verschobenen Delta-Distribution
Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um a > 0 {\\displaystyle a>0} verschobene Delta-Distribution δ δ a {\\displaystyle \\delta _{a}} zu berechnen. Es gilt
F ( δ δ a ) = e − − i ξ ξ a L ( δ δ a ) = e − − ξ ξ a . {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\mathcal {F}}(\\delta _{a})&=\\mathrm {e} ^{-\\mathrm {i} \\xi a}\\\\{\\mathcal {L}}(\\delta _{a})&=\\mathrm {e} ^{-\\xi a}.\\end{aligned}}}
>>Praktische Anwendung
Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der `F33f`_`[Impulsantwort`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impulsantwort]`_`f in der `F33f`_`[Akustik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Akustik]`_`f (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer δ δ {\\displaystyle \\delta } -Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der `F33f`_`[Systemantwort`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Systemantwort]`_`f) ermittelt werden.
Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:
• `F33f`_`[Hochspannungstechnik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hochspannungstechnik]`_`f ca. 1–100 `F33f`_`[ns`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nanosekunde]`_`f `F33f`_`[Halbwertsbreite`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Halbwertsbreite]`_`f
• `F33f`_`[Hochfrequenztechnik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hochfrequenztechnik]`_`f ca. 10–100 `F33f`_`[ps`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Picosekunde]`_`f Halbwertsbreite
• `F33f`_`[Pulslasertechnik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pulslaser]`_`f ca. 10–100 `F33f`_`[fs`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Femtosekunde]`_`f Halbwertsbreite
Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung `F33f`_`[inhomogener`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Inhomogene_Gleichung]`_`f linearer gewöhnlicher und partieller `F33f`_`[Differentialgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialgleichung]`_`f mit der Methode der `F33f`_`[Greenschen Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Greensche_Funktion]`_`f.
>>Mehrdimensionale Delta-Distribution
>>>Definition
Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} gleich C ∞ ∞ ( R n ) {\\displaystyle C^{\\infty }(\\mathbb {R} ^{n})} , der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen f : : R n → → R {\\displaystyle f\\colon \\,\\mathbb {R} ^{n}\\to \\mathbb {R} } .
Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion f : : R n → → R {\\displaystyle f\\colon \\,\\mathbb {R} ^{n}\\to \\mathbb {R} } die folgende Wirkung:
δ δ : : E → → R , f ↦ ↦ f ( 0 → → ) {\\displaystyle \\delta \\colon \\,{\\mathcal {E}}\\to \\mathbb {R} \\,,\\ f\\mapsto f({\\vec {0}})}
In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:
∫ ∫ f ( x → → ) δ δ ( x → → − − a → → ) d n x = ∫ ∫ f ( x → → ) δ δ ( a → → − − x → → ) d n x = f ( a → → ) {\\displaystyle \\int f({\\vec {x}})\\,\\delta ({\\vec {x}}-{\\vec {a}})\\,\\mathrm {d} ^{n}x=\\int f({\\vec {x}})\\,\\delta ({\\vec {a}}-{\\vec {x}})\\,\\mathrm {d} ^{n}x=f({\\vec {a}})} .
>>>Eigenschaften
Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:
δ δ ( x → → − − a → → ) = δ δ ( x 1 − − a 1 ) δ δ ( x 2 − − a 2 ) … … δ δ ( x n − − a n ) {\\displaystyle \\delta ({\\vec {x}}-{\\vec {a}})=\\delta (x_{1}-a_{1})\\,\\delta (x_{2}-a_{2})\\,\\dots \\,\\delta (x_{n}-a_{n})} .
Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der `F33f`_`[Elektrodynamik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektrodynamik]`_`f eingesetzt wird, um `F33f`_`[Punktladungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Punktladung]`_`f darzustellen:
δ δ ( x → → − − a → → ) = − − 1 4 π π Δ Δ 1 ‖ ‖ x → → − − a → → ‖ ‖ 2 {\\displaystyle \\delta ({\\vec {x}}-{\\vec {a}})=-{\\frac {1}{4\\pi }}\\Delta {\\frac {1}{\\|{\\vec {x}}-{\\vec {a}}\\|_{2}}}} .
>>>Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen
In `F33f`_`[krummlinigen Koordinatensystemen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Krummlinige_Koordinaten]`_`f muss die `F33f`_`[Funktionaldeterminante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionaldeterminante]`_`f
d 3 r = d x d y d z = det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) d a d b d c {\\displaystyle \\mathrm {d} ^{3}r=\\mathrm {d} x~\\mathrm {d} y~\\mathrm {d} z=\\det {\\frac {\\partial (x,y,z)}{\\partial (a,b,c)}}~\\mathrm {d} a~\\mathrm {d} b~\\mathrm {d} c}
berücksichtigt werden.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]
Der Ansatz
δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = γ γ ( a , b , c ) δ δ ( a − − a 0 ) δ δ ( b − − b 0 ) δ δ ( c − − c 0 ) {\\displaystyle \\delta ({{\\vec {r}}-{\\vec {r}}_{0}})=\\gamma (a,b,c)~\\delta (a-a_{0})~\\delta (b-b_{0})~\\delta (c-c_{0})}
mit r → → = ( a , b , c ) {\\displaystyle {\\vec {r}}=(a,b,c)} und r → → 0 = ( a 0 , b 0 , c 0 ) {\\displaystyle {\\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})} führt dabei auf die Gleichung
∫ ∫ V δ δ ( r → → − − r → → 0 ) d 3 r = ∭ ∭ V det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) γ γ ( a , b , c ) δ δ ( a − − a 0 ) δ δ ( b − − b 0 ) δ δ ( c − − c 0 ) d a d b d c = ! 1 {\\displaystyle \\int _{V}\\delta ({\\vec {r}}-{\\vec {r}}_{0})~\\mathrm {d} ^{3}r=\\iiint _{V}\\det {\\frac {\\partial (x,y,z)}{\\partial (a,b,c)}}~\\gamma (a,b,c)~\\delta (a-a_{0})~\\delta (b-b_{0})~\\delta (c-c_{0})~\\mathrm {d} a~\\mathrm {d} b~\\mathrm {d} c~{\\stackrel {!}{=}}~1} , falls r → → 0 ∈ ∈ V {\\displaystyle {\\vec {r}}_{0}\\in V} .
Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss
γ γ = ( det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) | r → → 0 ) − − 1 {\\displaystyle \\gamma =\\left(\\left.\\det {\\frac {\\partial (x,y,z)}{\\partial (a,b,c)}}\\right|_{{\\vec {r}}_{0}}\\right)^{-1}} .
In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.
>>>>Beispiele
In `F33f`_`[Kugelkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kugelkoordinaten]`_`f mit r → → = ( r , θ θ , ϕ ϕ ) {\\displaystyle {\\vec {r}}=(r,\\theta ,\\phi )} und r → → 0 = ( r 0 , θ θ 0 , ϕ ϕ 0 ) {\\displaystyle {\\vec {r}}_{0}=(r_{0},\\theta _{0},\\phi _{0})} gilt:
δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = 1 r 2 sin θ θ δ δ ( r − − r 0 ) δ δ ( θ θ − − θ θ 0 ) δ δ ( ϕ ϕ − − ϕ ϕ 0 ) {\\displaystyle \\delta ({\\vec {r}}-{\\vec {r}}_{0})={\\frac {1}{r^{2}\\sin \\theta }}~\\delta (r-r_{0})~\\delta (\\theta -\\theta _{0})~\\delta (\\phi -\\phi _{0})}
In `F33f`_`[Zylinderkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zylinderkoordinaten]`_`f mit r → → = ( ρ ρ , ϕ ϕ , z ) {\\displaystyle {\\vec {r}}=(\\rho ,\\phi ,z)} und r → → 0 = ( ρ ρ 0 , ϕ ϕ 0 , z 0 ) {\\displaystyle {\\vec {r}}_{0}=(\\rho _{0},\\phi _{0},z_{0})} gilt:
δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = 1 ρ ρ δ δ ( ρ ρ − − ρ ρ 0 ) δ δ ( ϕ ϕ − − ϕ ϕ 0 ) δ δ ( z − − z 0 ) {\\displaystyle \\delta ({\\vec {r}}-{\\vec {r}}_{0})={\\frac {1}{\\rho }}~\\delta (\\rho -\\rho _{0})~\\delta (\\phi -\\phi _{0})~\\delta (z-z_{0})}
>>Siehe auch
• `F33f`_`[Dirac-Identität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirac-Identität]`_`f
• `F33f`_`[Kronecker-Delta`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kronecker-Delta]`_`f
>>Literatur
• Dieter Landers, Lothar Rogge: `*Nichtstandard Analysis.`* Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (`*Springer-Lehrbuch`*).
• `F33f`_`[Wolfgang Walter`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wolfgang_Walter_(Mathematiker)]`_`f: `*Einführung in die Theorie der Distributionen.`* 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.
• F. G. Friedlander: `*Introduction to the Theory of Distributions.`* With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.
>>Weblinks
Commons
: Delta-Distribution
– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
>>Einzelnachweise
`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Hans Wilhelm Alt: `*Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung`*. 5. überarb. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2006, ISBN 3-540-34186-2, Seite 109.
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Rüdiger Hoffmann: `*Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker. Mit 11 Tabellen`* `F33f`_`[Expert Verlag`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Expert_Verlag]`_`f, 2005, ISBN 978-3-8169-2447-0, S. 26.
`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Wolfgang Nolting: `*Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik.`* Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.
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